Dinâmica do Brusselator
ISBN 978-85-85905-25-5
Área
Iniciação Científica
Autores
Gilberto do Prado, T. (UTFPR) ; Koslinski Freitas, I.V. (UTFPR)
Resumo
Este presente artigo tem como objetivo estudar o comportamento de uma reação oscilatória chamada Brusselator. Tendo em mente que há uma dinâmica não linear, o estudo da mesma é a base deste estudo, e para maiores detalhes na resolução é aplicada uma força externa à reação química. Diferenciando-se das demais reações, a do tipo oscilatória adquiri uma atuação não periódica podendo torna-la quase-periódica e até caótica. Com isso em mente e trabalhando em cima de equações diferenciais, é iniciado com a projeção de um mapa de fase juntamente com mapa de Poincaré, variando alguns parâmetros é feito o diagrama de bifurcação e posteriormente o expoente de Lyapunov, respectivamente.
Palavras chaves
Reação oscilatória; Dinâmica não linear; Caos
Introdução
Ao longo das décadas, a dinâmica não-linear pareceu ser uma ferramenta poderosa para o entendimento da complexidade permanente na natureza, no qual se desenvolveu na ciência física e biológica como um estudo da reação oscilante. [1] Conhecendo as condições iniciais, conhecer o comportamento do sistema e essa sensibilidade dá instabilidade característica; Estruturas em sistemas químicos surge de um princípio de auto-organização que pode ser no espaço e/ou no tempo. [1] Sendo um fato bem estabelecido que ocorre em praticamente todos os campos da ciência a existência de caos determinístico gerados por osciladores de todos os tipos, como nos fenômenos transitórios, descoberto por Ueda em 1961, ou os fluxos determinísticos não periódicos, descobertos por Lorenz em 1963, foram explicitamente reportados para fluxos, isto é, do conhecimento sobre o comportamento caótico decorre de investigações feitas mapeamentos não- lineares em tempo discreto, para sistemas de equações diferenciais. Este fato é uma consequência simples do comparativamente computacional e recursos gráficos disponíveis nos primeiros dias. Além disso, é muito mais simples e mais fácil para iterar um mapa discreto do que para integrar fluxos. [2] O não-equilíbrio que a dinâmica não-linear tem pode ser empregado para reações químicas, resultando em um comportamento oscilatório, visualmente a ates com o tempo e os reagentes. O grupo de Prigogine em Brussels desenvolveu um modelo simples, apelidado de Brusselator, ilustrando e estudando modelos de reação química envolvendo etapas trimoleculares. Como o papel o oscilador harmônico e o modelo de Heisenberg jogam no ferromagnetismo, esse modelo é reproduzido nas mesmas configurações. [3] Adquirindo um comportamento periódico, quase-periódico ou caótico. Com o domínio desta reação química pode ser possível entender outro tipo de reações que se aproxima do caos, e a dinâmica sobre isso. Existem muitas reações que não são periódicas por um período, como a reação de Beluosov- Zhabotinsky (BZ), a variação imprevisível na concentração de alguns componentes que entrar em uma reação oscilatória corresponde ao caos químico, que é macro- escalas do efeito de não-equilíbrio demonstraram caos em um produto químico. [4] A pesquisa sobre o modelo de Brusselator foi diferente de décadas atrás, como vimos em um estudo matemático da bifurcação de Hopf no Sistema de Bruxelas com parâmetro aleatório. [5] Os diagramas de estabilidade com alta resolução adicionar com a organização do estudo de oscilações no limite de pequenas frequências e amplitudes do drive [2]. Até mesmo o estudo sobre a estrutura dissipativa do sistema da indústria de serviço da energia do edifício de China [6] baseado neste modelo. Todos esses exemplos trazendo até hoje o conhecimento para um simples sistema que pode ser empregado em diferentes áreas, foi possível entender que tipo de comportamento tem. Sendo Brusselator um modelo simples, ao estudá-lo suas implicações poderão ser feitos em modelos de ordem superior. Forçando-o sua dinâmica será diferente da normal esperada, usando o espaço de fase e mapa de Poincaré para um primeiro contato com a não periodicidade, seguido do diagrama de bifurcação para melhor visualização da dinâmica e ainda haverá comprovação ou não do caos pelo expoente de Lyapunov.
Material e métodos
O modelo de reação de Brusselator desempenha um papel importante em sistemas químicos. Neste sistema, os termos de reação surgem da modelagem matemática de sistemas químicos, como nas reações enzimáticas, e no plasma e na física do laser em múltiplos acoplamentos entre modelos, os termos de reação surgem a partir da modelagem matemática de sistemas químicos, como o Brusselator. [7] Sendo uma reação autocatalítica, a espécie reagente interage com outras espécies aumentar sua taxa de produção, representando uma dinâmica caótica em uma estrutura do sistema aberto com sensibilidade às condições iniciais. A inclusão de uma reação de dissociação de espécies autocatalíticas, para um modelo como A → X + Y, seguida por uma reação de recombinação, X + Y → B, resulta em uma sensibilidade incomum condições de exposição. [7] Para garantir a interação das espécies, a reação química caótica precisa ser um boa reação e uma (ou mais) reação de dissociação seguida de uma reação de recombinação. [4] O modelo trimolecular é usado devido à sua simplicidade teórica, com quatro etapas irreversíveis por: A →k1 X (1) B + X →k2 Y + D (2) 2X + Y →k3 3X (3) X →k4 E (4) Presume-se que os produtos A e B sejam produtos constantes, D e E, e X e Y são componentes que variam no espaço e no tempo. Compatível com a lei de ação de massa resultar em um modelo com equações cinéticas na forma adimensional, é possível remover todas as constantes cinéticas [8]. O período T de todas as forças periódicas externas consideradas em nosso estudo é fixado 2π / ω, ω onde é a frequência angular das forças. As formas matemáticas das forças periódicas como onda senoidal, módulo de onda senoidal, seno retificado onda e onda quadrada. [9] Em aplicações práticas de engenharia, o processo de reação é frequentemente afetado por vários fatores periódicos externos. No estudo teórico, poderia ser aproximada como perturbação periódica externa. Pode-se supor que a perturbação externa afeta diretamente a concentração de inibidor na reação, sendo preciso uma lei de velocidade, tanto para o componente X e para o Y. Como F (t), F (t) = Fsin (ωt), uma força periódica que varia com tempo. dX/dt=a-(b-1)X+ X2 Y+F(t) (5) dY/dt=bX- X2 Y (6)
Resultado e discussão
Simulando as equações (5) e (6) em conjunto e adicionando que todas as
propriedades são adimensionais, resultará na dinâmica da reação, saberemos
em que momentos a reação tenderá ao estado instável ou estável. O mapa de
fase e o espaço de Poincaré são usados para compactar as informações e
visualizar o comportamento do sistema, notando atratores e repulsores como
podemos ver na Figura 1.
Figura 1 – Espaço de fase (cima) e mapa de Poincaré (baixo) ambas as figuras
adotam a= 0,4, b = 1,2, ω = 0,81 e F = 0,00128.[FIGURAS GRAVADAS]
https://www.dropbox.com/s/2d8uks008t2p617/espaco_fase_F0_00128.png?dl=0
https://www.dropbox.com/s/t06ps1hqqcr1ber/poinc_F0_00128.png?dl=0
Fonte: Autoria própria.
Para cada condição inicial diferente, a dinâmica do sistema seguirá uma
trajetória, mas na Figura 1 o sistema passa em diferentes condições iniciais
formando essa espessura no espaço de fase. Como podemos ver no espaço de
fase o gráfico é não-período ou com um movimento aleatório, adicionando com
alguns pontos do mapa de Poincaré, o que sugere que pode existir qualquer
ponto caótico em que região.
A teoria da bifurcação é o estudo matemático das mudanças na estrutura
positiva no comportamento dinâmico assintótico da sistemas de engenharia ou
de engenharia. Tais sistemas são geralmente descritos por e modelos
matemáticos discretos como equações diferenciais e mapeamentos [10]. Pontos
de bifurcação marcam as mudanças qualitativas na dinâmica comportamental,
como uma transição do estado estacionário para um comportamento oscilatório
ou um tipo de oscilações para outro, e diagramas de bifurcação fornecem um
resumo da dinâmica de um sistema. Diagramas de bifurcação para reações
oscilatórias tipicamente exibem comportamento em estado estacionário dando
lugar a oscilações seguidas por um retorno ao comportamento em estado
estacionário. Na região oscilatória, uma sequência complexa de oscilações
cada vez mais complexas pode ocorrer, culminando no aparecimento de
comportamento caótico. [11]
Figura 2 – Diagrama de bifurcação(em cima) e expoente de Lyapunov(embaixo)
para F, adotado a=0.4, b=1.2, ω=0.81.
https://www.dropbox.com/s/3nxw3dk7qvv184r/var_F.16.png?dl=0
https://www.dropbox.com/s/dpp0twgf6343deh/Lyap_var_F_0_16.png?dl=0
Fonte: Autoria própria.
A primeira figura no ponto F = 0,03808, na Figura acima, podemos observar
quatro janelas periódicas como em F = 0,04512 onde tem sete deste. Nas
partes de figura onde tem um preenchimento preto não sabemos se esta parte é
caótica ou não, o mesmo acontece nos pontos das bifurcações, como em F =
0,1026. Então, para verificar o caos, o expoente de Lyapunov foi usado,
0.04605≤F≤0.09309 são regiões onde há possível comportamento instável no
sistema para a variação de F.
O caos é caracterizado pela dependência sensível as condições iniciais, de
modo que perturbações minúsculas possam levar a mudanças na dinâmica global,
em particular para a estabilização do caos em órbitas periódicas. [12]] Para
comprove o caos neste modelo o expoente de Lyapunov é usado, no gráfico
quando são números negativos significa que o modelo é periódico, mas quando
os números estão entre 0 e 1, afirmamos que há caos naquele momento.
Figura 3 – Diagrama de bifurcação(cima) e expoente de Lyapunov(baixo) para
A, adotado F=0.00128, b=1.2, ω=0.81.
https://www.dropbox.com/s/1ozhtgtk1onlzph/var_a_0.45.png?dl=0
https://www.dropbox.com/s/y5uor5qs55cg4to/Lyap_var_a_05.png?dl=0
Fonte: Autoria própria.
O primeiro que variamos F e agora é hora do parâmetro A. Olhando para o
diagrama de bifurcação, o começo dos gráficos nos mostra um comportamento
decrescente que observa no final da periodicidade. Isso se encaixa bem no
expoente de Lyapunov, no começo há um movimento quase periódico mas no
final, o sistema assumiu a periodicidade.
Figura 4 – Diagrama de bifurcação(em cima) e expoente de Lyapunov(embaixo)
para B, adotado F= 0.00128, a=0.4, ω=0.81.
https://www.dropbox.com/s/zq015zvc5f6g8eg/var_b11_2.png?dl=0
https://www.dropbox.com/s/5rva4bp4qe9gyay/Lyap_var_b1.png?dl=0
Fonte: Autoria própria.
O parâmetro que é variado é B. O diagrama de bifurcação mostra que o
comportamento começa periódico e depois de qualquer tempo, pode ser caótico
ou não. Assim, observamos o expoente de Lyapunov de que a correspondência
dinâmica com o diagrama de bifurcação, que é a partida, é periódica e, mais
tarde, pode ser quase periódica ou mesmo caótica.
Espaço de fase adotando a= 0,4, b = 1,2, ω = 0,81 e F = 0,00128.
Mapa de Poincaré adotando a= 0,4, b = 1,2, ω = 0,81 e F = 0,00128.
Conclusões
Esse estudo possibilitou maiores informações a respeito da dinâmica não linear e como o mesma é caracterizado, não somente sendo aplicada em reações oscilatórias mas em qualquer área, sendo útil para a demonstração real do comportamento do sistema. Com os gráficos simulados há a comprovação de caoticidade no modelo, sendo mais visível quando há variação no parâmetro F. Mas não há o descarte de A e B, sendo estes também importantes para a dinâmica. Comprovando que essa não periodicidade é sensível as condições iniciais e ao tempo simulado, muitas vezes a simulação começa caótica e termina periódica, como também existe o contrário.
Agradecimentos
Fundação Araucária e ao meu orientador Prof. Dr. Thiago Gilberto do Prado
Referências
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